Probabilidades e Combinatória | Cálculo Combinatório | Arranjo e Combinação

O que é a Probabilidade?

Probabilidade e Combinatória

A probabilidade, como acontece com muitas outras noções que usamos com frequência, é extremamente difícil de definir, a menos que estejamos em condições de recorrer a conceitos matemáticos precisos. No entanto sabemos usá-la com uma certa perícia, em muitas situações práticas, mesmo sem disso nos apercebermos. 

Qualquer um de nós, em face de um determinado acontecimento futuro, é capaz de fazer conjecturas sobre a probabilidade da sua realização. Quantas vezes nos ouvimos fazer afirmações do género

“É muito provável que ...”, “É pouco provável que...”, “É mais provável que...”. Por exemplo, a informação que temos, permite-nos afirmar que “actualmente a probabilidade de um indivíduo morrer de tuberculose é muito mais baixa do que a probabilidade de um indivíduo, no início do século, morrer com tuberculose”. Mas, embora na maior parte das vezes só consigamos exprimir juízos probabilísticos em termos comparativos, há situações em que estamos preparados para atribuir um valor numérico à possibilidade da realização de um determinado acontecimento. Por exemplo, se nos perguntarem qual a probabilidade de existir um homem com três metros de altura, respondemos sem duvidar que essa probabilidade é zero, já que o nosso conhecimento nos faz acreditar que esse acontecimento é impossível. Por outro lado, se nos perguntarem qual a probabilidade de o sol nascer amanhã, não temos dúvida em afirmar que é um. Quantas vezes também quando se pretende decidir quem, entre duas pessoas deve fazer um determinado trabalho pouco apetitoso, se faz a escolha atirando uma moeda ao ar. Isto porque estamos implicitamente a aceitar que, procedendo deste modo, estamos a ser justos já que atribuímos probabilidades iguais (na escala de 0 a 1 corresponderia a 1/2) a cada um de poder vir a realizar o dito trabalho. Saiba como surgiu a Matemática no mundo

O que estamos então a fazer nas situações que aqui descrevemos, ou noutras semelhantes? Estamos a exprimir o nosso grau de convicção na realização de algum acontecimento. Podíamos então ser tentados a definir probabilidade de um determinado acontecimento como uma medida da convicção que temos na realização desse acontecimento. Mas claro, não nos podemos ficar por aqui. Este conceito tão simples só por si é demasiado precário para ser útil à Ciência. Há necessidade de ir muito mais longe, já que não havendo mais do que meras conjecturas e convicções, diferentes com certeza de indivíduo para indivíduo, e quantas vezes incoerentes, não é possível fazer teoria. Há por exemplo necessidade de saber como quantificar aquela “medida de convicção” relativamente a qualquer acontecimento. 

Se em certas situações (como a relacionada com o lançamento de uma moeda) não temos dificuldade, há outras em que isso já se não nos afigura simples, ou por falta de informação, ou por mera incapacidade devido, por exemplo, à própria complexidade de que o acontecimento se reveste. Sabemos, se não por convicção, pelo menos pela própria experiência, que a probabilidade de nos sair o totoloto na próxima vez que jogarmos é extremamente pequena. Mas, quantas pessoas que não tenham estudado cálculo das probabilidades são capazes de atribuir um número a essa probabilidade? Já em face de um dado equilibrado, somos levados a dizer que a probabilidade de sair um 6 num lançamento é 1/6. Porque é que fazemos tal afirmação? Somos, no entanto, capazes de ficar perplexos quando alguém, muito peremptoriamente nos afirma que estudos estatísticos indicam que a probabilidade de contrair cancro de pulmão, se se fumar mais de 20 cigarros por dia, é de 7%. Com que base é que se pode fazer uma afirmação desta natureza?

Digamos que, com os dois exemplos apresentados, quantificámos a probabilidade de um acontecimento por dois processos distintos. No segundo caso, a quantificação da probabilidade de contrair cancro de pulmão se se fumar mais de 20 cigarros, foi feita recorrendo à experiência, identificando empiricamente a probabilidade de um acontecimento com a frequência relativa com que esse acontecimento se observa numa amostra representativa da população em estudo. Em termos estatísticos “estimámos” a probabilidade (desconhecida) da realização de um acontecimento pela frequência relativa com que esse acontecimento se verifica. No primeiro caso, o do dado equilibrado, o raciocínio é feito com base no facto de haver uma possibilidade em 6 de ao lançar o dado uma vez se observar a face 6. Não precisámos da experiência para quantificar a probabilidade. Imaginemos, no entanto, que estávamos a jogar um determinado jogo que obrigava ao lançamento de um dado e que a saída da face 6 implicava um bónus. Depois de jogarmos um grande número de vezes descobríamos que a face 6 quase nunca saía. O nosso senso comum levava-nos a supor que “algo estava errado com o dado”. Como poderíamos averiguar isso? Lançando o dado um grande número de vezes, digamos n, e calculando a frequência relativa da realização do acontecimento de interesse, isto é, “saída de um 6”. Estimávamos assim a probabilidade de no lançamento daquele dado sair a face 6. A intuição diz-nos que se não houver nada de errado com o dado, este valor deve flutuar à volta de 1/6.

É costume identificar o “conceito” de probabilidade de um acontecimento com o processo usado para medir o “grau de convicção” na sua realização. Assim, o recurso à frequência relativa para medir a probabilidade, conduz-nos ao “conceito frequencista” de probabilidade. Este conceito está intimamente ligado à regularidade estatística, pelo que só faz sentido falar na probabilidade de acontecimentos que se possam repetir em condições idênticas, tantas vezes quantas quisermos, já que só nestas condições é que podemos calcular frequências. Tiago de Oliveira diz : “ a frequência de um acontecimento deve entender-se como uma medição física de uma grandeza teórica – a probabilidade- associada a um acontecimento. A probabilidade, do ponto de vista físico, é a intensidade da realização de um fenómeno natural”. Mais à frente aprofundaremos um pouco mais este assunto, ao falarmos das diferentes aproximações conceptuais para a Probabilidade.

Veja também

>>>>>> BAIXAR LIVROS EM PDF

Probabilidade e Estatística

A maior parte das situações em que é necessário utilizar técnicas estatísticas, envolve a necessidade de tirar conclusões gerais acerca de um grande conjunto de indivíduos, baseando-nos num número restrito desses indivíduos. Foi neste contexto que foram definidos os conceitos de População e Amostra no módulo da Estatística.

O conceito de Probabilidade, que nos propomos estudar neste texto, é o instrumento que permite ao estatístico utilizar a informação recolhida da amostra para descrever ou fazer inferências sobre a População de onde a amostra foi recolhida. Alguns exemplos ajudar-nos-ão a compreender melhor esta ideia.

Exemplo 1 – Suponha que tem uma moeda equilibrada e que lança a moeda uma série de vezes, registando em cada lançamento a face que fica voltada para cima. O resultado dos registos é uma sucessão de F e de C, onde utilizamos a letra F para designar cara (face) e a letra C para designar coroa. Como admitimos que a moeda é equilibrada, isto é, estamos a adoptar um determinado modelo probabilístico, esperamos que o número de F’s seja aproximadamente metade do número de lançamentos efectuados. Se, por outro lado, considerarmos uma amostra de dimensão 1, isto é, fizermos unicamente um lançamento, dizemos que a probabilidade de obter F é 1/2, já que existe igual possibilidade de obter F ou C (ao dizer que a moeda é equilibrada estamos a atribuir igual probabilidade à saída de cara ou de coroa num lançamento).

Suponha agora que a sua moeda não era equilibrada. Neste caso quando procedemos a vários lançamentos já não sabemos qual a proporção de caras que esperamos obter, uma vez que a População não é perfeitamente conhecida – conhecemos os resultados possíveis em cada lançamento – cara ou coroa, mas o modelo não está completamente especificado, uma vez que as probabilidades associadas a esses resultados não são conhecidas (estamos a assumir que a moeda não é equilibrada). Então um modo possível de obter mais alguma informação sobre o modelo probabilístico é proceder a um certo número de lançamentos e calcular a frequência relativa da saída de cara, nos lançamentos efectuados. Este valor vai-nos servir para estimar a probabilidade da saída de cara. Por exemplo, se em 1000 lançamentos se obtiveram 324 caras, dizemos que um valor aproximado para a probabilidade de se verificar cara é 0.324 (ao fim de 1000 lançamentos verificou-se uma certa estabilidade à volta deste valor) e o valor aproximado para a probabilidade de sair coroa será 0.676.

Com este exemplo procuramos exemplificar o papel relativo da Probabilidade e da Estatística:

Enquanto que ao assumirmos um determinado modelo de probabilidade – População conhecida, o que foi feito ao admitir que a moeda era equilibrada, estamos aptos a raciocinar do geral para o particular, isto é, da População para a Amostra, quando a População não é conhecida utilizamos a Estatística para fazer raciocínios no sentido inverso, isto é, inferir para a População resultados observados na Amostra. 

Para esclarecer melhor esta ideia, consideremos ainda o seguinte exemplo:   

Exemplo 2 - O Dr. Américo, do partido X, que se candidatou a Presidente da Câmara de determinada cidade juntamente com outro candidato pelo partido Y, anuncia que vencerá as eleições por uma margem significativa de votos. A comissão de candidatura do candidato do partido Y está um pouco céptica relativamente àquele optimismo e recolhe uma pequena amostra de potenciais eleitores, tendo concluído que dos 50 inquiridos só 5 é que pensam votar no Dr. Américo. Estes resultados, altamente contraditórios com a afirmação do Dr. Américo que, a ser verdade, lhe daria uma probabilidade de vencer superior a 1/2, leva a concluir que o seu optimismo não tem razão de ser. Embora não seja impossível, a partir de uma População que vota maioritariamente no Dr. Américo, obter uma amostra aleatória de 50 eleitores em que só 5 votam a favor dele, é no entanto bastante improvável que isso aconteça. Assim, se tomarmos como hipótese que a probabilidade do Dr. Américo ganhar as eleições é superior a 1/2, o facto de obtermos um valor muito pequeno para a probabilidade de encontrarmos em 50 eleitores, só 5 a votarem nele, leva-nos a rejeitar o modelo proposto, isto é, de que o candidato em causa seria o vencedor. Estamos assim a utilizar os resultados da amostra para retirar conclusões para a População. 

Sendo então a Probabilidade o instrumento utilizado para fazer inferências, é importante responder à questão que faz parte do título desta secção: o que é a Probabilidade? 

O termo Probabilidade que foi utilizado anteriormente com alguma frequência, num contexto especial, como já vimos na secção anterior, é utilizado todos os dias de forma mais ou menos intuitiva, pois nos mais variados aspectos da nossa vida, está presente a incerteza: 

• dizemos que existe uma pequena probabilidade de ganhar o totoloto;

• dizemos que existe uma grande probabilidade de chover num dia carregado de nuvens;

• o político interroga-se sobre qual a probabilidade de ganhar as próximas eleições;

• o aluno interroga-se sobre qual a probabilidade de obter positiva num teste de perguntas múltiplas, para o qual não estudou e responde sistematicamente ao acaso;

• o médico pretende saber se um medicamento novo tem maior probabilidade de cura que o medicamento habitual, para tratar determinada doença;

• o comerciante pretende saber se deve rejeitar um determinado carregamento de material, pois ao verificar um certo número de peças, encontrou uma determinada percentagem de defeituosas;

• o fabricante desejaria saber se um produto que pretende lançar no mercado, terá uma boa probabilidade de aceitação;

• o corretor da bolsa interroga-se sobre se será provável que umas acções que tem em vista, aumentem de cotação.

Todos estes exemplos têm uma característica comum, que é o facto de não conseguirmos prever com exactidão e de antemão qual o resultado da situação de incerteza. Perante as várias possibilidades que se nos apresentam, não sabemos qual a que se vai verificar. No entanto os métodos probabilísticos vão-nos permitir quantificar essa incerteza.

Para tentar formalizar o conceito de Probabilidade vamos introduzir alguma terminologia própria da linguagem das probabilidades.

Experiência aleatória - Espaço de resultados - Acontecimentos

Como sabemos o objectivo da Estatística é o estudo de Populações, isto é, conjuntos de indivíduos (não necessariamente pessoas) com características comuns que se pretendem estudar. A uma característica comum, que assume valores diferentes de indivíduo para indivíduo, chamamos variável. Ao processo que consiste em recolher uma observação de uma variável que se pretende estudar chamamos experiência aleatória.

Experiência aleatória – processo que conduz à obtenção de uma observação ou resultado, de entre um conjunto de resultados possíveis (método utilizado para aquisição de dados).

Da forma como definimos experiência aleatória ressaltam algumas características que a caracterizam:

• Pode-se realizar repetidamente, nas mesmas circunstâncias, e de forma independente de umas vezes para as outras.

• Dá um resultado, de entre um conjunto de resultados possíveis conhecidos antes da realização da experiência, conjunto esse a que se dá o nome de espaço de resultados.

• De entre os resultados possíveis, não se tem conhecimento suficiente de qual o resultado a ser obtido, de entre os resultados do espaço de resultados.

Espaço de resultados S – conjunto de resultados possíveis associados a uma experiência aleatória.

São exemplos de experiências aleatórias:

• contar o nº de carros estacionados, na rua, ao sairmos de manhã de casa;

• perguntar a uma pessoa ao acaso, da sua cidade, quantas são as pessoas do seu agregado familiar;

• perguntar a uma pessoa ao acaso, do seu bairro fiscal, qual o seu rendimento;

• perguntar a uma pessoa ao acaso, da sua rua, quantos anos tem;

• lançar uma moeda ao ar e ver o resultado que sai;

• lançar uma moeda ao ar 20 vezes e ver quantas caras saem; • medir o tempo que de manhã levamos a chegar ao emprego;

• contar o nº de desastres que encontramos, em cada dia, na ida para o emprego.

As situações anteriores são exemplos de experiências aleatórias, pois além de envolverem aleatoriedade, o resultado da experiência está bem especificado. O mesmo não se passa com a seguinte situação: ao acordar, de manhã, ir à janela. Efectivamente, na situação anterior não se especificou qual o resultado possível, de modo a termos uma experiência aleatória. No entanto, associado à situação anterior são experiências aleatórias:

• ao acordar, de manhã, ir à janela e ver se chove;

• ao acordar, de manhã, ir à janela e contar o nº de carros encarnados, que passam num período de 5 minutos.

Relativamente a estas duas experiências aleatórias, os espaços de resultados associados são respectivamente {chove, não chove} e {0, 1, 2, 3, …}.

A definição correcta do espaço de resultados associados a uma experiência é um passo fundamental para posteriormente definirmos acontecimentos.

Acontecimento - Define-se acontecimento, como sendo um subconjunto do espaço de resultados S.

Os acontecimentos são representados pelas letras A, B, C, ….

Exemplo 3 - Considerando a experiência aleatória que consiste em perguntar a duas pessoas escolhidas ao acaso, de uma dada cidade, se são a favor ou contra a despenalização do aborto, o espaço de resultados é constituído pelos seguintes resultados:

S = {(Favor Favor), (Favor Contra), (Contra Favor), (Contra Contra)}

 Alguns acontecimentos são:

• uma das pessoas é contra, que podemos representar por A= {Favor Contra, Contra Favor};

• pelo menos uma das pessoas é contra, que podemos representar por B= {Favor Contra, Contra Favor, Contra Contra };

• as duas pessoas são a favor, que podemos representar por C={ Favor Favor }.

Diz-se que se realizou o acontecimento A quando o resultado da experiência pertence a A.

Alguns acontecimentos são constituídos por um único resultado: chamam-se acontecimentos elementares. Os acontecimentos elementares de um espaço de resultados S são assim subconjuntos do espaço, que contêm um só elemento.

Exemplo 4 - Considere a experiência aleatória que consiste em lançar dois dados e verificar as faces que ficam voltadas para cima. Identifique o espaço de resultados e os acontecimentos “o número de pintas é igual nos dois dados” e “a soma das pintas é 7”.

Para descrever o espaço de resultados vamos considerar dois dados, um preto e um branco, para os distinguir. O espaço de resultados é constituído por todos os pares de dados considerados na figura a seguir. O número de elementos do espaço de resultados é 36 = 6x6. 

O espaço anterior pode ser descrito de forma mais sintética considerando os pares ordenados (i,j), onde representamos por i o número de pintas do dado 1, ou seja do dado preto, e por j o número de pintas do dado 2, ou seja do dado branco:

S = {(i,j): i=1,2,...,6; j=1,2,...6}

Chamamos a atenção que, por exemplo, o par (1,3) não é o mesmo que o par (3,1). No par ordenado, o primeiro elemento refere-se a um dos dados (neste caso o dado preto) e o segundo elemento refere-se ao outro dado (o dado branco).

O acontecimento “o número de pintas é igual nos dois dados” é constituído pelos pares assinalados na figura seguinte, por uma linha a tracejado ou em notação em termos dos pares ordenados

A = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}

Finalmente o acontecimento “a soma das pintas é 7” é constituído pelos pares assinalados na figura seguinte ou em notação em termos dos pares ordenados

B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

Qual a diferença entre o espaço de resultados associado à experiência aleatória do lançamento de dois dados e a experiência que consiste no lançamento do mesmo dado duas vezes? Não existe diferença, o espaço de resultados é idêntico nas duas experiências.

Exemplo 5 - Se lançar 3 dados e verificar as faces que ficam voltadas para cima, como é constituído o espaço de resultados associado a esta experiência? 

Utilizando uma generalização da notação do exemplo anterior, o espaço de resultados será constituído por todos os triplos (i, j, k), em que o i, j e k, podem assumir os valores de 1 a 6. O i refere-se a um dos dados, por exemplo o 1º a ser lançado, ou se os quisermos distinguir a um dado preto, o j refere-se ao 2º dado a ser lançado, ou a um dado branco e finalmente o k refere-se ao 3º dado a ser lançado, ou a um dado vermelho. O número de elementos do espaço de resultados, ou seja, o número de resultados possíveis é 216 = 6 x 6 x 6.

Nota histórica (Statistics, 1991) - No século XVII, os jogadores italianos costumavam fazer apostas sobre o número total de pintas obtidas no lançamento de 3 dados. Acreditavam que a possibilidade de obter um total de 9 era igual à possibilidade de obter um total de 10. Por exemplo, diziam que uma combinação possível para dar um total de 9 seria 1 pinta num dos dados, 2 pintas num outro dado, 6 pintas no terceiro dado Abreviando o resultado anterior para “1 2 6”, todas as combinações para dar o 9 são:

 1 2 6  1 3 5  1 4 4  2 3 4  2 2 5  3 3 3

Analogamente, obtinham 6 combinações para o 10:

 1 4 5  1 3 6  2 2 6  2 3 5  2 4 4  3 3 4

Assim, os jogadores argumentavam que o 9 e o 10 deveriam ter a mesma possibilidade de se verificarem. Contudo, a experiência mostrava que o 10 aparecia com uma frequência um pouco superior ao 9. Pediram a Galileu que os ajudasse nesta contradição, tendo este realizado o seguinte raciocínio: Pinte-se um dos dados de branco, o outro de cinzento e o outro de preto. De quantas maneiras se podem apresentar os três dados depois de lançados? O dado branco pode apresentar 6 possibilidades diferentes. Para cada uma destas possibilidades o dado cinzento pode apresentar 6 possibilidades, obtendo-se 6 x 6 possibilidades para os dois dados. Correspondendo a cada uma destas possibilidades, o dado preto pode apresentar 6 possibilidades obtendo-se no total 6 x 6 x 6 = 216 possibilidades. Galileu listou todas as 216 maneiras de 3 dados se apresentarem depois de lançados. Depois percorreu a lista e verificou que havia 25 maneiras de obter um total de 9 e 27 maneiras de obter um total de 10. 

O raciocínio dos jogadores não entrava em linha de conta com as diferentes maneiras como os dados se podiam apresentar. Por exemplo o triplo “3 3 3”, que dá o 9, corresponde unicamente a uma forma de os dados se apresentarem, mas o triplo “3 3 4” que dá o 10, corresponde a 3 maneiras diferentes:

Por vezes para definirmos o espaço de resultados associados com determinadas experiências, é necessário acrescentar algo sobre a metodologia da realização da experiência. Por exemplo se pretendermos obter o espaço de resultados associado à experiência aleatória que consiste em retirar duas bolas de uma urna contendo 4 bolas brancas e duas pretas, é necessário saber se após retirar a primeira bola ela é reposta ou não na urna.

Extracções/Arranjos com reposição e sem reposição

Colocaram-se (Graça Martins, et al, 1999) numa caixa 3 papéis com o nome de 3 meninas: Ana, Maria e Filipa. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar da caixa 2 papéis e verificar os nomes que saíram. Qual o espaço de resultados? Para responder a esta questão é necessário saber se a extracção se faz com reposição, isto é, se uma vez retirado um papel e verificado o nome se volta a colocar o papel na caixa, antes de proceder à extracção seguinte, ou se a extracção é feita sem reposição, isto é, uma vez retirado um papel, ele não é reposto antes de se proceder à próxima extracção.

Admitimos que na 1ª extracção saiu o papel com o nome da Maria. Na 2ª extracção, saiu o nome da Filipa nos dois casos, mas na extracção com reposição havia uma possibilidade em três de ele sair, tal como na 1ª extracção, enquanto que na extracção sem reposição havia uma possibilidade em duas de ele sair. Quer dizer que neste caso havia uma maior probabilidade de sair o nome da Filipa. Os espaços de resultados Sc e Ss correspondentes às duas situações com reposição e sem reposição, são respectivamente:

Sc = {(Ana, Ana), (Ana, Maria), (Ana, Filipa), (Maria, Ana), (Maria, Maria), (Maria, Filipa),

(Filipa, Ana); (Filipa, Maria), (Filipa, Filipa)}

Ss = {(Ana, Maria), (Ana, Filipa), (Maria, Ana), (Maria, Filipa), (Filipa, Ana), (Filipa, Maria)}.

O acontecimento “saiu o nome da Maria” é constituído pelos seguintes resultados, considerando a extracção com reposição e sem reposição, respectivamente:

Ac= {(Ana, Maria), (Maria, Ana), (Maria, Maria), (Maria, Filipa), (Filipa, Maria)} e As = {(Ana, Maria), (Maria, Ana), (Maria, Filipa), (Filipa, Maria)}.

Exemplo 6 - Considere a experiência aleatória que consiste em extrair 2 berlindes, de um saco com 3 berlindes vermelhos e 2 azuis. Qual é o espaço de resultados?

Para já é necessário saber se a extracção se faz com reposição ou sem reposição. Vamos considerar as duas situações. Para identificar o espaço de resultados será mais fácil numerar os berlindes, pelo que vamos numerar os berlindes vermelhos com 1, 2 e 3 e os azuis com 4 e 5.

Com reposição - Quando se retira um berlinde verifica-se a cor e torna-se a repor o berlinde no saco antes de extrair o próximo. O espaço de resultados é constituído por todos os resultados, em número de 25, do esquema seguinte:

Sem reposição - Neste caso o espaço de resultados é constituído por todos os resultados do espaço do esquema anterior, exceptuando os pares constituídos pelo mesmo berlinde:

O acontecimento “tirar 2 berlindes de cor diferente” é constituído pelos resultados {(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3)} tanto no esquema com reposição, como sem reposição.

A definição do espaço de resultados nem sempre está isenta de ambiguidades. No exemplo anterior, podemos assumir que o espaço de resultados associado com a experiência que consiste em retirar 2 berlindes de um saco com 3 berlindes vermelhos (V) e 2 azuis (A) é constituído pelos resultados elementares {VA, VV, AV, AA} quer a extracção se faça com ou sem reposição. Neste caso é-nos indiferente qual o berlinde seleccionado em cada tiragem, porque estamos interessados unicamente na cor.

Pode ainda acontecer que tenhamos de idealizar um modelo que não corresponde à realidade, mas para o qual não exista outra possibilidade de o definir. Por exemplo se pensarmos na experiência aleatória que consiste em averiguar o tempo de vida T de uma pessoa escolhida ao acaso, consideramos para espaço de resultados S = {T:T>0}. Será que uma pessoa pode ter 500 anos? E 400? E 200? Temos dificuldade em estabelecer um limite superior para o valor de T, pelo que temos de nos abstrair um pouco da realidade considerando aquele modelo para o espaço de resultados. Continue lendo...

Aviso Importante

Informamos que por razões alheias, respeitamos todos direitos autorais reservados, por isso todo o conteúdo publicado neste site (gratuito/pago) não deve ser copiados, vendidos em outros sites ou usados ilegalmente. Para saber mais veja as nossas políticas de privacidade

Viste algo de errado nesta página? Relate nos comentários ou entre em contacto com o admi através do WhatsApp 

Entamos gratos pela sua visita...